In questa pagina sono raccolte delle dispense scritte per i precorsi di Matematica tenuti presso la Facoltà di Ingegneria dell' Università degli Studi di Palermo.

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Insiemi

Il linguaggio e i simboli della matematica. Concetto di insieme. Rappresentazioni di un insieme. Sottoinsiemi di un insieme (banali e non). L'insieme complementare. Principio di doppia inclusione. Algebra degli insiemi: unione, intersezione, differenza. Insieme delle parti di un insieme. Prodotto cartesiano di insiemi. Definizione di relazione tra insiemi.

Insiemi numerici

Generalità sull'insieme N. Assiomi di Peano. Principio d'induzione. Operazioni in N e loro proprietà. Legge di annullamento del prodotto. Multipli, sottomultipli e divisori di un numero naturale. Criteri di divisibilità. Teorema fondamentale dell'aritmetica. Teorema di Euclide sull'infinità dei numeri primi. M.C.D. e m.c.m. e regole per il loro calcolo. Algoritmo euclideo della divisione. Potenza di base reale ed esponente naturale e proprietà.

Generalità sull'insieme Z. Operazioni in Z e loro proprietà. Potenza di base reale ed esponente intero e proprietà.

Generalità sull'insieme Q. Ordinamento denso di Q. Frazioni e loro classificazione. Operazioni con le frazioni. Confronto tra frazioni. Numeri decimali limitati e illimitati periodici. Frazione generatrice di un numero decimale. Rapporti e proporzioni. Proprietà delle proporzioni. Numeri percentuali. Grandezze direttamente e inversamente proporzionali. Definizione di potenza di numeri razionali con esponente intero e proprietà delle potenze.

Irrazionalità della radice quadrata di 2. L'insieme R dei numeri reali. Valore assoluto di un numero reale e sue proprietà.

L'insieme C dei numeri complessi. Somma e prodotto di numeri complessi. Coniugato di un numero complesso.

Radicali

Potenze di un numero reale con esponente razionale . Radicali aritmetici. Proprietà invariantiva dei radicali. Riduzione dei radicali allo stesso indice. Moltiplicazione di radicali. Divisione di radicali. "Portare dentro radice" e "Portare fuori dalla radice". Potenza di un radicale. Radice di un radicale. L'addizione e la sottrazione dei radicali. Radicali doppi. Razionalizzazione del denominatore di una frazione.

Identità ed equazioni (I e II grado)

Identità ed equazioni. Le equazioni in un'incognita. La soluzione di un'equazione. Equazioni equivalenti e principi d'equivalenza. Risoluzione di un'equazione di primo grado. Discussione dell'equazione ax=b.
Equazioni di secondo grado incomplete (pure e spurie) e loro risoluzione. Determinazione della formula risolutiva di un'equazione di secondo grado completa. Formula risolutiva ridotta. Realtà delle radici di una equazione di secondo grado. I numeri complessi. Somma e prodotto di numeri complessi. Soluzioni complesse di un'equazione di secondo grado. Relazioni fra soluzioni e coefficienti di un'equazione di secondo grado. Scomposizione di un trinomio di secondo grado in fattori.

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