Topologia

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La topologia o studio dei luoghi (dal greco τοπος, luogo, e λογος, studio) è una delle più importanti branche della matematica moderna. Si caratterizza come lo studio delle proprietà delle figure e delle forme che non cambiano quando viene effettuata una deformazione senza "strappi", "sovrapposizioni" o "incollature". Concetti fondamentali come convergenza, limite, continuità, connessione o compattezza trovano nella topologia la loro migliore formalizzazione.

Storia

Georg Cantor, l'inventore della teoria degli insiemi, iniziò a studiare la teoria degli insiemi di punti nello spazio euclideo verso la fine del XIX secolo.

Maurice Fréchet, unificando il lavoro sugli spazi di funzioni di Cantor, Vito Volterra, Arzelà, Hadamard, Ascoli e altri, nel 1906 introdusse il concetto di spazio metrico.

Nel 1914 Felix Hausdorff, generalizzando la nozione di spazio metrico, coniò il termine di spazio topologico e definì quello che oggi è detto spazio di Hausdorff.

Finalmente, nel 1922 Kuratowsky, con una ulteriore lieve generalizzazione fornì il concetto odierno di spazio topologico.

Introduzione elementare

Gli spazi topologici sono usati quotidianamente dall'analisi matematica, dall'algebra astratta, dalla geometria: questo rende la topologia una delle grandi idee unificanti della matematica. La topologia generale (o topologia degli insiemi di punti) definisce e studia alcune proprietà utili degli spazi e delle mappe, come la loro connessione, la compattezza e la continuità. La topologia algebrica invece è un potente strumento per studiare gli spazi topologici e le mappe fra essi: essa assegna loro invarianti "discreti" (ad esempio numeri, gruppi, o anelli), più calcolabili, spesso servendosi di funtori. Le idee della topologia algebrica hanno avuto una grande influenza sull'algebra e sulla geometria algebrica.

La motivazione profonda della topologia è che alcuni problemi geometrici non dipendono dalla forma esatta degli oggetti coinvolti, ma piuttosto "dal modo in cui questi sono connessi". Per esempio il teorema della sfera pelosa della topologia algebrica dice che "non si può pettinare in modo continuo il pelo di una sfera pelosa". Questo fatto è evidente per molte persone, anche se probabilmente non lo riconoscerebbero leggendo l'enunciato formale del teorema, e cioè che non esiste un campo vettoriale continuo e non nullo di vettori tangenti alla sfera stessa. Come per i Ponti di Königsberg, il risultato non dipende dalla esatta forma della sfera, ma si applica anche a forme sferiche non regolari e in generale ad ogni tipo di oggetto (purché la sua superficie soddisfi certi requisiti di continuità e regolarità) che non abbia buchi.

Per trattare problemi che non considerano la forma esatta degli oggetti, bisogna mettere bene in chiaro quali sono le proprietà degli oggetti su cui possiamo contare: da questo bisogno nasce la nozione di equivalenza topologica. L'impossibilità di attraversare ogni ponte una e una sola volta è vera per ogni configurazione di ponti topologicamente equivalente a quelli di Königsberg, e il problema della sfera pelosa si applica ad ogni spazio topologicamente equivalente a una sfera. Formalmente, due spazi sono topologicamente equivalenti se esiste un omeomorfismo fra loro: in questo caso sono detti omeomorfi e sono, ai fini topologici, esattamente identici.

Un omeomorfismo è formalmente definito come una funzione biettiva continua dotata di una inversa continua, il che non è molto intuitivo anche per chi conosce già il significato delle parole nella definizione. Una definizione meno formale restituisce meglio il senso di quanto sopra: due spazi sono topologicamente equivalenti se è possibile trasformare l'uno nell'altro senza tagliare né incollare insieme pezzi dei due. Ad esempio, una tazza ed una ciambella sono omeomorfi:

Un semplice esercizio introduttivo è di classificare le lettere minuscole dell'alfabeto per classi di equivalenza topologica: per semplicità assumiamo che le linee delle lettere abbiano larghezza finita e diversa da zero. In quasi tutti i font di uso comune possiamo trovare una classe {a,b,d,e,o,p,q} di lettere con un buco, una classe {c,f,h,k,l,m,n,r,s,t,u,v,w,x,y,z} di lettere senza buchi e una classe {i,j} di lettere costituite da due parti distinte (a seconda del font, la g può appartenere alla classe con un solo buco o costituire l'unico elemento della classe di lettere con due buchi). Per un esercizio più complicato, si può assumere che le linee abbiano larghezza zero: si possono ottenere molte classificazioni diverse a seconda del tipo di font che viene usato.