Proprietà delle funzioni

Icona iDevice Funzioni pari e funzioni dispari

Definizione: Una funzione di dominio D si dice pari ,ovvero simmetrica rispetto all'asse delle ordinate, se per ogni si ha:


 

Definizione: Una funzione di dominio D si dice dispari, ovvero simmetrica rispetto all'origine degli assi cartesiani, se per ogni si ha:



"Come stabilire se una funzione è pari o dispari?"

Basta sostituire nella funzione al posto della variabile x il valore -x e si possono verificare le tre seguenti situazioni:

  • la funzione ottenuta è identica a quella di partenza funzione pari;
  • la funzione ottenuta è opposta a quella di partenza funzione dispari;
  • la funzione ottenuta non è nè identica, nè opposta a quella di partenza funzione né pari né dispari.

Esempi:

  1. La funzione è pari in quanto .
  2. La funzione è dispari in quanto .
  3. La funzione non è né pari né dispari in quanto .

Icona iDevice Funzioni iniettive

Definizione: Una funzione si dice iniettiva se a elementi distinti di A fa corrispondere elementi distinti di B, in formule:




Osservazione: Si noti che nell'insieme B vi è un elemento che non è immagine di alcun elemento dell'insieme A.

Test delle rette orizzontali

Dato il grafico di una funzione è possibile capire se questa è iniettiva o meno effettuando il cosiddetto "test delle rette orizzontali". Esso consiste nel tracciare delle rette parallele all'asse delle ascisse, stabilendo che se almeno una di tali rette interseca il grafico in almeno due punti distinti, allora la funzione non è iniettiva perché esisterebbero due valori distinti della variabile indipendente ai quali è associato lo stesso valore della variabile dipendente.
 
Esempio:
 

La funzione rappresentata nel grafico a fianco non è iniettiva, in quanto esistono infinite rette parallele all'asse delle ascisse che intersecano la funzione in due punti distinti.

La funzione rappresentata nel grafico a fianco è iniettiva, in quanto qualsiasi retta parallela all'asse delle ascisse interseca la funzione in un solo punto.


Icona iDevice Funzioni suriettive

Definizione: Una funzione si dice suriettiva se ogni elemento di B è immagine di almeno un elemento di A, cioe se . In formule:

Test delle rette orizzontali

Dato il grafico di una funzione è possibile capire se questa è suriettiva o meno effettuando il cosiddetto "test delle rette orizzontali". Esso consiste nel tracciare delle rette parallele all'asse delle ascisse, stabilendo che se almeno una di tali rette non interseca il grafico in nessun punto, allora la funzione non è suriettiva perché esisterebbe almeno un valore della variabile dipendente che non ha controimmagine.
 
Esempio:

La funzione rappresentata nel grafico a fianco non è suriettiva, in quanto esiste una retta parallela all'asse delle ascisse che non interseca la funzione in nessun punto.

La funzione rappresentata nel grafico a fianco è suriettiva, in quanto qualsiasi retta parallela all'asse delle ascisse interseca la funzione in almeno un punto.

 

 


Icona iDevice Funzioni biunivoche

Definizione: Una funzione si dice biunivoca se è sia iniettiva che suriettiva.

Test delle rette orizzontali

Dato il grafico di una funzione è possibile capire se questa è biunivocao meno effettuando il cosiddetto "test delle rette orizzontali". Si tracciano delle rette parallele all'asse delle ascisse, stabilendo che se ogni retta tracciata da un qualunque punto del codominio interseca il grafico esattamente in un punto, allora la funzione è biunivoca.

 

 


Icona iDevice Funzioni monotòne

Definizione: Sia data una funzione reale di variabile reale definita in un insieme non vuoto X contenente almeno due elementi. Diremo che la funzione f è:

  • crescente in X se ;
  • decrescente in X se ;
  • non decrescente in X se ;
  • non crescente in X se .

Esempi:

  • La funzione è crescente nel suo dominio in quanto:

  • La funzione è decrescente nel suo dominio in quanto: