Definizione: Dicesi funzione una relazione che lega due grandezze variabili in modo tale che, assegnati dei valori arbitrari ad una di esse (detta variabile indipendente), restano univocamente determinati i valori dell'altra variabile (detta variabile dipendente).

Osservazione: Dalla definizione data si evince che le variabili dipendente e indipendente "variano" all'interno di due insiemi A e B. Per indicare ciò si usa la scrittura:

che viene letta "effe è una funzione che va da A verso B".

Notazioni: La variabile indipendente viene solitamente indicata con la lettera x, mentre la variabile indipendente viene indicata con la lettera y. Per evidenziare il fatto che la y dipende dalla x, si utilizza la scrittura:

e si legge: "y è funzione di x".
Tale scrittura viene detta forma esplicita della funzione, in contrapposizione alla scrittura:

che prende il nome di forma implicita.

Terminologia:

1. L'elemento prende il nome di immagine dell'elemento x tramite la funzione f.
2. L'elemeno x si chiama controimmagine di y.
3. L'insieme A prende il nome di dominio, o insieme di definizione, o insieme di esistenza della funzione, mentre l'insieme B prende il nome di insieme di arrivo della f.
4. L'insieme delle immagini, indicato con prende il nome di codominio della funzione.

Osservazioni: Non tutti gli elementi di B devono necessariamente essere l'immagine di un elemento di A, ci possono essere elementi di B che non fanno parte di e per tale ragione il codominio della funzione è un sottoinsieme dell'insieme di arrivo, cioè .

Definizione: Una funzione si dice costante quando tutti gli elementi del dominio hanno la stessa immagine.

Definizione: La funzione si dice numerica se gli insiemi A e B sono insiemi numerici.

Alla luce di questa nuova definizione è possibile riformulare i concetti dati nel paragrafo precedente come segue.

Definizione: Diremo che una variabile reale y è funzione della variabile reale x in un dominio se esiste una legge f che ad ogni elemento fa corrispondere un solo valore di y. Per tale ragione diremo che y è una funzione reale della variabile reale x:

Definizione: Si definisce dominio della funzione reale l'insieme di tutti i valori reali che si possono attribuire alla variabile x affinché il corrispondente valore della variabile y sia un numero reale.

Esempio:

Il dominio della funzione è dato dall'insieme .

Definzione: Data una funzione di equazione , si definisce grafico della funzione l'insieme di tutti e soli punti del piano cartesiano aventi come ascissa i valori, appartenenti al dominio, della variabile indipendente e come ordinata i corrispondenti valori della variabile dipendente:

Esempio:

Il grafico della funzione

è il seguente:

Definizione: Due funzioni reali di variabile reale sono uguali se hanno lo stesso dominio.

Esempio:

Le funzioni:

• ,
• 

Grafico della funzione f(x)

Grafico della funzione g(x)